Limites et comparaison~1 min
• Minoration : si $u_n\geq v_n$ et $\lim\limits_{n\to+\infty} v_n=+\infty$, alors $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n=+\infty$.
• Majoration : si $u_n\leq v_n$ et $\lim\limits_{n\to+\infty} v_n=-\infty$, alors $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n=-\infty$.
• Gendarmes : si $v_n\leq u_n\leq w_n$ et $\lim\limits_{n\to+\infty} v_n=\lim\limits_{n\to+\infty} w_n=\ell$, alors $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n=\ell$.
Soit $A$ un réel. Il existe un rang $n_0$ à partir duquel $u_n\geq v_n$.
Comme $\lim\limits_{n\to+\infty} v_n=+\infty$, il existe un rang $n_1$ à partir duquel $v_n\geq A$.
Posons $p=\max(n_0\,;n_1)$. Pour tout $n\geq p$ : $u_n\geq v_n\geq A$.
Donc, par définition, $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n=+\infty$. $\blacksquare$
Dès que l'expression contient $(-1)^n$, $\sin n$ ou $\cos n$ : ces termes n'ont pas de limite, mais ils sont bornés entre $-1$ et $1$. On part de cet encadrement et on reconstruit $u_n$ étape par étape.
$u_n=\bigl[2+(-1)^n\bigr]\,n^2$. $(-1)^n\geq-1$ donc $2+(-1)^n\geq1$, puis (car $n^2\geq0$) $u_n\geq n^2$.
Or $\lim\limits_{n\to+\infty} n^2=+\infty$ : d'après le théorème de minoration, $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n=+\infty$.
$v_n=\dfrac{2+\sin n}{n}$ pour $n\geq1$. $-1\leq\sin n\leq1$ donc $1\leq2+\sin n\leq3$, puis (car $n\gt 0$) $\dfrac1n\leq v_n\leq\dfrac3n$.
Or $\lim\limits_{n\to+\infty}\frac1n=\lim\limits_{n\to+\infty}\frac3n=0$ : d'après le théorème des gendarmes, $\lim\limits_{n\to+\infty} v_n=0$.