À retenir — Somme, produit, quotient ($\ell$, $\ell'$ réels)
Somme $u_n+v_n$
| $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n$ | $\ell$ | $\ell$ | $+\infty$ | $+\infty$ |
|---|
| $\lim\limits_{n\to+\infty} v_n$ | $\ell'$ | $\pm\infty$ | $+\infty$ | $-\infty$ |
| $\lim\limits_{n\to+\infty} (u_n+v_n)$ | $\ell+\ell'$ | $\pm\infty$ | $+\infty$ | FI |
Produit $u_n\times v_n$
| $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n$ | $\ell$ | $\ell\neq0$ | $\pm\infty$ | $0$ |
|---|
| $\lim\limits_{n\to+\infty} v_n$ | $\ell'$ | $\pm\infty$ | $\pm\infty$ | $\pm\infty$ |
| $\lim\limits_{n\to+\infty} (u_nv_n)$ | $\ell\ell'$ | $\pm\infty^{\,\ast }$ | $\pm\infty^{\,\ast }$ | FI |
Quotient $\dfrac{u_n}{v_n}$
| $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n$ | $\ell$ | $\ell$ | $\pm\infty$ | $\ell\neq0$ ou $\pm\infty$ | $0$ | $\pm\infty$ |
|---|
| $\lim\limits_{n\to+\infty} v_n$ | $\ell'\neq0$ | $\pm\infty$ | $\ell'\neq0$ | $0$ (signe constant) | $0$ | $\pm\infty$ |
| $\lim\limits_{n\to+\infty} \dfrac{u_n}{v_n}$ | $\dfrac{\ell}{\ell'}$ | $0$ | $\pm\infty^{\,\ast }$ | $\pm\infty^{\,\ast }$ | FI | FI |
$^{\ast }$ le signe s'obtient par la règle des signes.
Les 4 formes indéterminées
$\displaystyle \text{«\,}\infty-\infty\text{\,»} \qquad\quad \text{«\,}0\times\infty\text{\,»} \qquad\quad \text{«\,}\frac{\infty}{\infty}\text{\,»} \qquad\quad \text{«\,}\frac{0}{0}\text{\,»}$
« Indéterminée » ne veut pas dire « pas de limite » : cela veut dire que les tableaux ne permettent pas de conclure et qu'il faut transformer l'écriture.
Méthode — lever une forme indéterminée
1. Polynôme ou quotient de polynômes : factoriser par le terme de plus haut degré (au numérateur et au dénominateur), puis simplifier.
2. Différence de racines : multiplier et diviser par la quantité conjuguée.
Exemple
$u_n=n^3-3n^2+5$. Forme « $\infty-\infty$ ». On factorise par $n^3$ : $$u_n=n^3\Bigl(1-\frac3n+\frac5{n^3}\Bigr).$$ $\lim\limits_{n\to+\infty} n^3=+\infty$ et $\lim\limits_{n\to+\infty} \bigl(1-\frac3n+\frac5{n^3}\bigr)=1$, donc par produit $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n=+\infty$.
Exemple
$v_n=\dfrac{4n+5}{n^2+6}$. Forme « $\frac\infty\infty$ ». On factorise haut et bas : $$v_n=\frac{n\bigl(4+\frac5n\bigr)}{n^2\bigl(1+\frac6{n^2}\bigr)}=\frac{4+\frac5n}{n\bigl(1+\frac6{n^2}\bigr)}.$$ Le numérateur tend vers $4$, le dénominateur vers $+\infty$, donc par quotient $\lim\limits_{n\to+\infty} v_n=0$.
Exemple
$w_n=\sqrt{n+1}-\sqrt n$. Forme « $\infty-\infty$ ». Quantité conjuguée : $$w_n=\frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt n)(\sqrt{n+1}+\sqrt n)}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}\,, \quad\text{donc } \lim\limits_{n\to+\infty} w_n=0.$$
Réflexe : quotient de polynômes
La limite d'un quotient de polynômes est celle du quotient des termes de plus haut degré. À utiliser pour prévoir le résultat ; sur une copie, on rédige la factorisation.