Suites et raisonnement par récurrence : le cours — Term Spécialité Maths

Le cours

L'essentiel en 30 secondes

Une suite se donne soit par une formule explicite $u_n=f(n)$, soit par récurrence $u_{n+1}=f(u_n)$.
Sens de variation : on étudie le signe de $u_{n+1}-u_n$ (réflexe n^o 1).
Arithmétique : on ajoute $r$ à chaque étape. Géométrique : on multiplie par $q$.
Une suite $u_{n+1}=au_n+b$ ($a\neq1$) se ramène à une géométrique en posant $v_n=u_n-\ell$, avec $\ell=a\ell+b$.

L'essentiel en 30 secondes

On l'utilise pour démontrer une propriété $P(n)$ pour tout entier $n\geq n_0$.
Trois étapes, toujours rédigées : initialisation, hérédité, conclusion.
Dans l'hérédité, on suppose $P(n)$ vraie pour un $n$ fixé et on montre $P(n+1)$, en utilisant l'hypothèse.
Le réflexe : écrire d'abord ce que l'on veut obtenir au rang $n+1$, puis partir de ce que l'on sait.

L'essentiel en 30 secondes

Une suite a trois comportements possibles : elle converge (limite finie $\ell$), elle tend vers $\pm\infty$, ou elle n'a pas de limite.
Pour calculer une limite : opérations d'abord ; si forme indéterminée, factoriser par le terme dominant ; si la suite « oscille » ($(-1)^n$, $\sin n$, $\cos n$), encadrer / comparer.
$q^n$ : tout dépend de la position de $q$ par rapport à $-1$ et $1$.
Croissante et majorée $\Rightarrow$ convergente (mais on ne connaît pas la limite).

Conçu et validé par Laurent Jacquet, professeur de mathématiques. Qui conçoit les cours ?

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