Deux façons de définir une suite~1 min
Définition — suite numérique
Une suite $(u_n)$ associe à chaque entier naturel $n$ un réel $u_n$, appelé terme de rang $n$.
• Formule explicite : $u_n=f(n)$. On calcule directement n'importe quel terme.
• Par récurrence : on donne le premier terme et une relation $u_{n+1}=f(u_n)$. On calcule les termes de proche en proche.
Exemple
Explicite. $u_n=n^2-3n$ : $u_0=0$, $u_{10}=100-30=70$ (calcul direct).
Exemple
Récurrence. $u_0=4$ et $u_{n+1}=\frac12u_n+1$ : $u_1=\frac12\times4+1=3$, $u_2=\frac12\times3+1=2{,}5$. Pour $u_{10}$, il faut d'abord $u_9$…
Pièges classiques
• $u_{n+1}\neq u_n+1$ : avec $u_n=n^2$, on a $u_{n+1}=(n+1)^2=n^2+2n+1$, alors que $u_n+1=n^2+1$.
• $u_{2n}$ : on remplace $n$ par $2n$ partout : $u_{2n}=(2n)^2-3\times2n=4n^2-6n$.