Suites arithmético-géométriques~1 min
Méthode — $u_{n+1}=a\,u_n+b$ avec $a\neq1$ (souvent guidé par l'énoncé)
1. Chercher le réel $\ell$ tel que $\ell=a\ell+b$ (au brouillon : $\ell=\dfrac{b}{1-a}$).
2. Poser $v_n=u_n-\ell$ et montrer que $v_{n+1}=a\,v_n$ : $(v_n)$ est géométrique de raison $a$.
3. En déduire $v_n=v_0\times a^n$, puis $u_n=v_n+\ell=(u_0-\ell)\,a^n+\ell$.
Exemple
$u_0=10$ et $u_{n+1}=0{,}6\,u_n+2$. Au brouillon : $\ell=0{,}6\ell+2\iff0{,}4\ell=2\iff\ell=5$.
On pose $v_n=u_n-5$. Alors $$v_{n+1}=u_{n+1}-5=0{,}6\,u_n+2-5=0{,}6\,u_n-3=0{,}6\,(u_n-5)=0{,}6\,v_n.$$ $(v_n)$ est géométrique de raison $0{,}6$ et de premier terme $v_0=10-5=5$.
Donc $v_n=5\times0{,}6^n$ et $u_n=5\times0{,}6^n+5$.
Avec Python — calculer un terme, chercher un seuil
def terme(n):
u = 10
for k in range(n):
u = 0.6*u + 2
return u
Renvoie $u_n$ pour la suite ci-dessus.
def seuil():
n, u = 0, 10
while u > 5.01:
n = n + 1
u = 0.6*u + 2
return n
Premier rang $n$ tel que $u_n\leq5{,}01$.