Cours : Identifier et exploiter une suite géométrique — 1ère Spécialité Maths

Le cours

Suites arithmétiques et géométriques~1 min

À retenir — le tableau à connaître

	Arithmétique de raison $r$	Géométrique de raison $q\neq0$
Définition	$u_{n+1}=u_n+r$	$u_{n+1}=q\times u_n$
Le prouver	$u_{n+1}-u_n$ est constant	$\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ est constant (termes non nuls)
Terme général	$u_n=u_0+nr$ ou $u_n=u_p+(n-p)\,r$	$u_n=u_0\times q^n$ ou $u_n=u_p\times q^{\,n-p}$
Variations	$r\gt 0$ : croissante ; $r\lt 0$ : décroissante	si $u_0\gt 0$ : $q\gt 1$ croissante, $0\lt q\lt 1$ décroissante ; $q\lt 0$ : signes alternés
Somme	$\text{nb de termes}\times\dfrac{\text{1}^{\text{er}}+\text{dernier}}{2}$	$\text{1}^{\text{er}}\text{ terme}\times\dfrac{1-q^{\,\text{nb de termes}}}{1-q}$ ($q\neq1$)
Somme de référence	$1+2+\dots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$	$1+q+\dots+q^n=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$

Méthode — compter les termes

De $u_p$ à $u_n$ (inclus), il y a $\boldsymbol{n-p+1}$ termes. Par exemple, de $u_0$ à $u_{20}$ : $21$ termes.

Exemple

Arithmétique. $u_0=7$, $r=-2$. $u_n=7-2n$, $u_{20}=7-40=-33$.
$u_0+u_1+\dots+u_{20}=21\times\dfrac{7+(-33)}{2}=21\times(-13)=-273$.

Exemple

Géométrique. $v_0=5$, $q=2$. $v_n=5\times2^n$, $v_9=5\times512=2560$.
$v_0+v_1+\dots+v_9=5\times\dfrac{1-2^{10}}{1-2}=5\times1023=5115$ ($10$ termes).

Exemple

Retrouver la raison. $(u_n)$ arithmétique avec $u_4=11$ et $u_{10}=29$ : $u_{10}=u_4+6r$, donc $6r=18$, $r=3$ et $u_0=u_4-4r=-1$.

Suites arithmético-géométriques~1 min

Méthode — $u_{n+1}=a\,u_n+b$ avec $a\neq1$ (souvent guidé par l'énoncé)

1. Chercher le réel $\ell$ tel que $\ell=a\ell+b$ (au brouillon : $\ell=\dfrac{b}{1-a}$).
2. Poser $v_n=u_n-\ell$ et montrer que $v_{n+1}=a\,v_n$ : $(v_n)$ est géométrique de raison $a$.
3. En déduire $v_n=v_0\times a^n$, puis $u_n=v_n+\ell=(u_0-\ell)\,a^n+\ell$.

Exemple

$u_0=10$ et $u_{n+1}=0{,}6\,u_n+2$. Au brouillon : $\ell=0{,}6\ell+2\iff0{,}4\ell=2\iff\ell=5$.
On pose $v_n=u_n-5$. Alors $$v_{n+1}=u_{n+1}-5=0{,}6\,u_n+2-5=0{,}6\,u_n-3=0{,}6\,(u_n-5)=0{,}6\,v_n.$$ $(v_n)$ est géométrique de raison $0{,}6$ et de premier terme $v_0=10-5=5$.
Donc $v_n=5\times0{,}6^n$ et $u_n=5\times0{,}6^n+5$.

Avec Python — calculer un terme, chercher un seuil

def terme(n):
    u = 10
    for k in range(n):
        u = 0.6*u + 2
    return u

Renvoie $u_n$ pour la suite ci-dessus.

def seuil():
    n, u = 0, 10
    while u > 5.01:
        n = n + 1
        u = 0.6*u + 2
    return n

Premier rang $n$ tel que $u_n\leq5{,}01$.

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Suites #2 — Modélisation (⭐⭐)

Modes de génération (explicite, récurrente)

2

Géométriques #1 — Reconnaissance et calcul (⭐)

Suites géométriques

3

Géométriques #2 — Somme des termes (⭐⭐)

Suites géométriques

4

Géométriques #3 — Suite arithmético-géométrique (⭐⭐⭐)

Suites géométriques

5

Geom #1 — Definition et explicite (⭐)

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