Cours : Identifier et exploiter une suite arithmétique — 1ère Spécialité Maths

Le cours

Suites arithmétiques et géométriques~1 min

À retenir — le tableau à connaître

	Arithmétique de raison $r$	Géométrique de raison $q\neq0$
Définition	$u_{n+1}=u_n+r$	$u_{n+1}=q\times u_n$
Le prouver	$u_{n+1}-u_n$ est constant	$\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ est constant (termes non nuls)
Terme général	$u_n=u_0+nr$ ou $u_n=u_p+(n-p)\,r$	$u_n=u_0\times q^n$ ou $u_n=u_p\times q^{\,n-p}$
Variations	$r\gt 0$ : croissante ; $r\lt 0$ : décroissante	si $u_0\gt 0$ : $q\gt 1$ croissante, $0\lt q\lt 1$ décroissante ; $q\lt 0$ : signes alternés
Somme	$\text{nb de termes}\times\dfrac{\text{1}^{\text{er}}+\text{dernier}}{2}$	$\text{1}^{\text{er}}\text{ terme}\times\dfrac{1-q^{\,\text{nb de termes}}}{1-q}$ ($q\neq1$)
Somme de référence	$1+2+\dots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$	$1+q+\dots+q^n=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$

Méthode — compter les termes

De $u_p$ à $u_n$ (inclus), il y a $\boldsymbol{n-p+1}$ termes. Par exemple, de $u_0$ à $u_{20}$ : $21$ termes.

Exemple

Arithmétique. $u_0=7$, $r=-2$. $u_n=7-2n$, $u_{20}=7-40=-33$.
$u_0+u_1+\dots+u_{20}=21\times\dfrac{7+(-33)}{2}=21\times(-13)=-273$.

Exemple

Géométrique. $v_0=5$, $q=2$. $v_n=5\times2^n$, $v_9=5\times512=2560$.
$v_0+v_1+\dots+v_9=5\times\dfrac{1-2^{10}}{1-2}=5\times1023=5115$ ($10$ termes).

Exemple

Retrouver la raison. $(u_n)$ arithmétique avec $u_4=11$ et $u_{10}=29$ : $u_{10}=u_4+6r$, donc $6r=18$, $r=3$ et $u_0=u_4-4r=-1$.

Conçu et validé par Laurent Jacquet, professeur de mathématiques. Qui conçoit les cours ?