Sens de variation~2 min
$(u_n)$ est croissante si, pour tout $n$, $u_{n+1}\geq u_n$ ; décroissante si, pour tout $n$, $u_{n+1}\leq u_n$.
Elle est monotone si elle est croissante ou décroissante. On peut aussi dire « croissante à partir du rang $p$ » si l'inégalité n'est vraie que pour $n\geq p$.
1. Signe de $u_{n+1}-u_n$ : marche toujours. Réflexe par défaut.
2. Fonction associée (formule explicite seulement) : si $u_n=f(n)$ et $f$ est croissante sur $[0\,;+\infty[$, alors $(u_n)$ est croissante.
3. Quotient $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ comparé à $1$ : uniquement si tous les termes sont strictement positifs. Pratique avec des puissances.
Pour une suite $u_{n+1}=f(u_n)$, on utilise souvent une récurrence (voir la fiche dédiée).
$u_n=n^2-3n$. $u_{n+1}-u_n=(n+1)^2-3(n+1)-n^2+3n=2n-2$.
$2n-2\geq0\iff n\geq1$ : la suite est croissante à partir du rang 1 (et $u_1\lt u_0$).
$w_n=\dfrac{2n+1}{n+3}$. On pose $f(x)=\dfrac{2x+1}{x+3}$ sur $[0\,;+\infty[$ : $f'(x)=\dfrac{2(x+3)-(2x+1)}{(x+3)^2}=\dfrac{5}{(x+3)^2}\gt 0$.
$f$ est croissante, donc $(w_n)$ est croissante.
$v_n=\dfrac{3^n}{n+1}$ (termes strictement positifs). $\dfrac{v_{n+1}}{v_n}=\dfrac{3^{n+1}}{n+2}\times\dfrac{n+1}{3^n}=\dfrac{3(n+1)}{n+2}$.
$3(n+1)\geq n+2\iff 2n\geq-1$, toujours vrai : le quotient est $\geq1$, donc $(v_n)$ est croissante.
• L'outil no 2 ne marche pas pour $u_{n+1}=f(u_n)$ : $f$ croissante ne permet pas de conclure directement : il faut une récurrence.
• L'outil no 3 exige des termes strictement positifs : on le dit sur la copie.