Limite de $q^n$ (suites géométriques)~1 min
• $q\gt 1$ : $\lim\limits_{n\to+\infty} q^n=+\infty$ • $-1\lt q\lt 1$ : $\lim\limits_{n\to+\infty} q^n=0$
• $q=1$ : $q^n=1$ (suite constante) • $q\leq-1$ : $(q^n)$ n'a pas de limite
Inégalité de Bernoulli : pour tout réel $a\gt 0$ et tout $n\in\mathbb{N}$, $\;(1+a)^n\geq1+na$.
Récurrence. Vrai pour $n=0$. Si $(1+a)^n\geq1+na$, alors $(1+a)^{n+1}\geq(1+na)(1+a)=1+(n+1)a+na^2\geq1+(n+1)a$.
Soit $q\gt 1$. On pose $a=q-1\gt 0$, d'où $q^n=(1+a)^n\geq1+na$.
Comme $a\gt 0$, $\lim\limits_{n\to+\infty}(1+na)=+\infty$. D'après le théorème de minoration, $\lim\limits_{n\to+\infty} q^n=+\infty$. $\blacksquare$
$u_n=5\times0{,}8^n+3$. $-1\lt 0{,}8\lt 1$ donc $\lim\limits_{n\to+\infty}0{,}8^n=0$, d'où $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n=3$.
$v_n=\dfrac{3^n-2^n}{3^n+2^n}$. Forme « $\frac\infty\infty$ » : on factorise par $3^n$ (la plus grande base). $$v_n=\frac{1-\left(\frac23\right)^n}{1+\left(\frac23\right)^n}\,,\quad -1\lt \tfrac23\lt 1 \text{ donc } \lim\limits_{n\to+\infty}\left(\tfrac23\right)^n=0 \text{ et } \lim\limits_{n\to+\infty} v_n=1.$$
Somme géométrique. Pour $-1\lt q\lt 1$ : $\;1+q+q^2+\dots+q^n=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}\xrightarrow[n\to+\infty]{}\dfrac1{1-q}$.