Cours : Étudier le caractère majoré, minoré ou borné d'une suite — Term Spécialité Maths

Le cours

Suites majorées, minorées, bornées~1 min

Définition — majorant, minorant

$(u_n)$ est majorée par $M$ si $u_n\leq M$ pour tout $n$ ; minorée par $m$ si $u_n\geq m$ pour tout $n$ ;
bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

Exemple

$u_n=3-\dfrac{1}{n+1}$. Pour tout $n$, $0\lt \dfrac1{n+1}\leq1$, donc $2\leq u_n\lt 3$ : $(u_n)$ est bornée.
Elle est majorée par $3$, mais aussi par $4$ ou $100$ : un majorant n'est pas unique.

Suites monotones~1 min

À retenir — Théorème de convergence monotone (admis)

• Toute suite croissante et majorée converge.
• Toute suite décroissante et minorée converge.

À retenir — Suites monotones non bornées

• Toute suite croissante et non majorée tend vers $+\infty$.
• Toute suite décroissante et non minorée tend vers $-\infty$.

Démonstration exigible — croissante et non majorée $\Rightarrow$ tend vers $+\infty$

Soit $A$ un réel. $(u_n)$ n'est pas majorée, donc $A$ n'est pas un majorant : il existe un rang $p$ tel que $u_p\gt A$.
$(u_n)$ est croissante, donc pour tout $n\geq p$ : $u_n\geq u_p\gt A$.
Ainsi, à partir du rang $p$, $u_n\geq A$. Par définition, $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n=+\infty$. $\blacksquare$

Méthode — suite définie par récurrence $u_{n+1}=f(u_n)$

1. Montrer par récurrence que la suite est bornée (ex. : $0\leq u_n\leq M$).
2. Étudier le sens de variation (signe de $u_{n+1}-u_n$, ou récurrence sur $u_n\leq u_{n+1}$).
3. Conclure : croissante et majorée (ou décroissante et minorée) donc convergente.

Conçu et validé par Laurent Jacquet, professeur de mathématiques. Qui conçoit les cours ?