Cours : Appliquer les théorèmes sur les opérations et comparaison des limites — Term Spécialité Maths

Opérations et formes indéterminées~2 min

À retenir — les règles ($\ell$, $\ell'$ réels ; « $\infty$ » avec la règle des signes)

Somme $f+g$	Produit $f\times g$	Quotient $f/g$
$\ell+\ell'$ ; $\ell+(\pm\infty)=\pm\infty$	$\ell\times\ell'$ ; $\ell\times\infty=\infty$ si $\ell\neq0$	$\dfrac{\ell}{\ell'}$ si $\ell'\neq0$ ; $\dfrac{\ell}{\infty}=0$
$+\infty+\infty=+\infty$	$\infty\times\infty=\infty$	$\dfrac{\infty}{\ell'}=\infty$ ; $\dfrac{\ell}{0^\pm}=\infty$ si $\ell\neq0$
FI $+\infty-\infty$	FI $0\times\infty$	FI $\dfrac{\infty}{\infty}$ ; FI $\dfrac00$

Méthode — lever une forme indéterminée

1. Polynôme en $\pm\infty$ : factoriser par le terme de plus haut degré.
2. Quotient en $\pm\infty$ : factoriser numérateur et dénominateur par leur terme dominant, puis simplifier.
3. Racines carrées (« $\infty-\infty$ ») : multiplier et diviser par la quantité conjuguée.
4. « $\frac00$ » en un réel $a$ : factoriser par $(x-a)$ et simplifier ; ou reconnaître un nombre dérivé $\lim\limits_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=f'(a)$.
5. Exponentielle contre puissance : croissances comparées (partie 5).

Exemple

$\lim\limits_{x\to-\infty}(x^3-5x^2+1)$ : forme « $-\infty-\infty$ » ? Non : $x^3\to-\infty$ et $-5x^2\to-\infty$, donc par somme, la limite est $-\infty$. Pas de FI : on n'a rien à lever.

Exemple

$\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{3x^2-x}{1-x^2}$ (FI « $\frac\infty\infty$ »). $\dfrac{3x^2-x}{1-x^2}=\dfrac{x^2\bigl(3-\frac1x\bigr)}{x^2\bigl(\frac1{x^2}-1\bigr)}=\dfrac{3-\frac1x}{\frac1{x^2}-1}\;\longrightarrow\;\dfrac{3}{-1}=-3$.

Exemple

$\lim\limits_{x\to+\infty}\bigl(\sqrt{x^2+x}-x\bigr)$ (FI « $\infty-\infty$ »). Avec la quantité conjuguée, pour $x\gt 0$ : $$\sqrt{x^2+x}-x=\frac{(x^2+x)-x^2}{\sqrt{x^2+x}+x}=\frac{x}{x\bigl(\sqrt{1+\frac1x}+1\bigr)}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac1x}+1}\;\longrightarrow\;\frac12.$$

Exemple

$\lim\limits_{x\to2}\dfrac{x^2-x-2}{x-2}$ (FI « $\frac00$ »). $x^2-x-2=(x-2)(x+1)$, donc pour $x\neq2$ : $\dfrac{x^2-x-2}{x-2}=x+1\;\longrightarrow\;3$.

Composée et théorèmes de comparaison~1 min

À retenir — limite d'une composée

$a$, $b$, $c$ désignent des réels ou $\pm\infty$. Si $\lim\limits_{x\to a}u(x)=b$ et $\lim\limits_{X\to b}v(X)=c$, alors $\lim\limits_{x\to a}v\bigl(u(x)\bigr)=c$.

Exemple

$\lim\limits_{x\to+\infty}\mathrm{e}^{-x^2+1}$ : on pose $X=-x^2+1$. $\lim\limits_{x\to+\infty}X=-\infty$ et $\lim\limits_{X\to-\infty}\mathrm{e}^X=0$ : par composition, la limite est $0$.

Exemple

$\lim\limits_{x\to+\infty}\sqrt{\dfrac{4x+1}{x+2}}$ : $\dfrac{4x+1}{x+2}=\dfrac{4+\frac1x}{1+\frac2x}\to4$ et $\lim\limits_{X\to4}\sqrt X=2$ : par composition, la limite est $2$.

À retenir — théorèmes de comparaison (en $+\infty$ ; analogues en $-\infty$ et en $a$)

Pour $x$ assez grand :
• Minoration : si $f(x)\geq g(x)$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=+\infty$, alors $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$.
• Majoration : si $f(x)\leq g(x)$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=-\infty$, alors $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=-\infty$.
• Gendarmes : si $g(x)\leq f(x)\leq h(x)$ et $\lim\limits_{x\to+\infty} g=\lim\limits_{x\to+\infty} h=\ell$, alors $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\ell$.

Exemple

$\lim\limits_{x\to+\infty}(x+\sin x)$ : $\sin x\geq-1$, donc $x+\sin x\geq x-1$, et $x-1\to+\infty$ : par minoration, la limite est $+\infty$.

Exemple

$\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{2+\sin x}{x^2}$ : $1\leq2+\sin x\leq3$ et $x^2\gt 0$, donc $\dfrac1{x^2}\leq\dfrac{2+\sin x}{x^2}\leq\dfrac3{x^2}$. Les deux bornes tendent vers $0$ : d'après le théorème des gendarmes, la limite est $0$.

Appliquer les théorèmes sur les opérations et comparaison des limites

Le cours

Opérations et formes indéterminées~2 min

Composée et théorèmes de comparaison~1 min

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