Cours : Calculer et interpréter une limite en l'infini — Term Spécialité Maths

Le cours

Limite en $+\infty$ ou en $-\infty$~1 min

Définition — limite en $+\infty$

• $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$ si tout intervalle $]A\,;+\infty[$ contient toutes les valeurs $f(x)$ dès que $x$ est assez grand.
• $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\ell$ si tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient toutes les valeurs $f(x)$ dès que $x$ est assez grand.
Définitions analogues en $-\infty$ et pour la limite $-\infty$.

La courbe se rapproche de la droite $y=\ell$ : asymptote horizontale en $+\infty$.

À retenir — asymptote horizontale

Si $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\ell$ (ou $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=\ell$), la droite d'équation $\boldsymbol{y=\ell}$ est asymptote horizontale à $\mathcal C_f$ en $+\infty$ (ou en $-\infty$).

Exemple

$f(x)=2+\dfrac1x$ sur $]0\,;+\infty[$. $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac1x=0$, donc $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=2$ : la droite $y=2$ est asymptote horizontale en $+\infty$.
De plus $f(x)-2=\dfrac1x\gt 0$ : la courbe est au-dessus de son asymptote.

Une fonction peut n'avoir aucune limite en $+\infty$ : $x\mapsto\cos x$ oscille entre $-1$ et $1$.

Les limites de référence~1 min

À retenir — fonctions de référence ($n$ entier, $n\geq1$)

	en $+\infty$	en $-\infty$	en $0$
$x^n$	$+\infty$	$+\infty$ si $n$ pair, $-\infty$ si $n$ impair	$0$
$\dfrac1{x^n}$	$0$	$0$	$0^+$ : $+\infty$ ; $0^-$ : $\pm\infty$ (signe de $(-1)^n$)
$\sqrt x$	$+\infty$	non définie	$0$
$\mathrm{e}^x$	$+\infty$	$0$ (asymptote $y=0$)	$1$

Opérations et formes indéterminées~2 min

À retenir — les règles ($\ell$, $\ell'$ réels ; « $\infty$ » avec la règle des signes)

Somme $f+g$	Produit $f\times g$	Quotient $f/g$
$\ell+\ell'$ ; $\ell+(\pm\infty)=\pm\infty$	$\ell\times\ell'$ ; $\ell\times\infty=\infty$ si $\ell\neq0$	$\dfrac{\ell}{\ell'}$ si $\ell'\neq0$ ; $\dfrac{\ell}{\infty}=0$
$+\infty+\infty=+\infty$	$\infty\times\infty=\infty$	$\dfrac{\infty}{\ell'}=\infty$ ; $\dfrac{\ell}{0^\pm}=\infty$ si $\ell\neq0$
FI $+\infty-\infty$	FI $0\times\infty$	FI $\dfrac{\infty}{\infty}$ ; FI $\dfrac00$

Méthode — lever une forme indéterminée

1. Polynôme en $\pm\infty$ : factoriser par le terme de plus haut degré.
2. Quotient en $\pm\infty$ : factoriser numérateur et dénominateur par leur terme dominant, puis simplifier.
3. Racines carrées (« $\infty-\infty$ ») : multiplier et diviser par la quantité conjuguée.
4. « $\frac00$ » en un réel $a$ : factoriser par $(x-a)$ et simplifier ; ou reconnaître un nombre dérivé $\lim\limits_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=f'(a)$.
5. Exponentielle contre puissance : croissances comparées (partie 5).

Exemple

$\lim\limits_{x\to-\infty}(x^3-5x^2+1)$ : forme « $-\infty-\infty$ » ? Non : $x^3\to-\infty$ et $-5x^2\to-\infty$, donc par somme, la limite est $-\infty$. Pas de FI : on n'a rien à lever.

Exemple

$\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{3x^2-x}{1-x^2}$ (FI « $\frac\infty\infty$ »). $\dfrac{3x^2-x}{1-x^2}=\dfrac{x^2\bigl(3-\frac1x\bigr)}{x^2\bigl(\frac1{x^2}-1\bigr)}=\dfrac{3-\frac1x}{\frac1{x^2}-1}\;\longrightarrow\;\dfrac{3}{-1}=-3$.

Exemple

$\lim\limits_{x\to+\infty}\bigl(\sqrt{x^2+x}-x\bigr)$ (FI « $\infty-\infty$ »). Avec la quantité conjuguée, pour $x\gt 0$ : $$\sqrt{x^2+x}-x=\frac{(x^2+x)-x^2}{\sqrt{x^2+x}+x}=\frac{x}{x\bigl(\sqrt{1+\frac1x}+1\bigr)}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac1x}+1}\;\longrightarrow\;\frac12.$$

Exemple

$\lim\limits_{x\to2}\dfrac{x^2-x-2}{x-2}$ (FI « $\frac00$ »). $x^2-x-2=(x-2)(x+1)$, donc pour $x\neq2$ : $\dfrac{x^2-x-2}{x-2}=x+1\;\longrightarrow\;3$.

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