Cours : Déterminer et représenter les asymptotes d'une courbe — Term Spécialité Maths

Le cours

Limite en $+\infty$ ou en $-\infty$~1 min

Définition — limite en $+\infty$

• $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$ si tout intervalle $]A\,;+\infty[$ contient toutes les valeurs $f(x)$ dès que $x$ est assez grand.
• $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\ell$ si tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient toutes les valeurs $f(x)$ dès que $x$ est assez grand.
Définitions analogues en $-\infty$ et pour la limite $-\infty$.

La courbe se rapproche de la droite $y=\ell$ : asymptote horizontale en $+\infty$.

À retenir — asymptote horizontale

Si $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\ell$ (ou $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=\ell$), la droite d'équation $\boldsymbol{y=\ell}$ est asymptote horizontale à $\mathcal C_f$ en $+\infty$ (ou en $-\infty$).

Exemple

$f(x)=2+\dfrac1x$ sur $]0\,;+\infty[$. $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac1x=0$, donc $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=2$ : la droite $y=2$ est asymptote horizontale en $+\infty$.
De plus $f(x)-2=\dfrac1x\gt 0$ : la courbe est au-dessus de son asymptote.

Une fonction peut n'avoir aucune limite en $+\infty$ : $x\mapsto\cos x$ oscille entre $-1$ et $1$.

Limite en un réel $a$~1 min

Définition — limite infinie en $a$

$\lim\limits_{x\to a}f(x)=+\infty$ si tout intervalle $]A\,;+\infty[$ contient toutes les valeurs $f(x)$ dès que $x$ est assez proche de $a$.
On parle de limite à gauche ($x\to a$ avec $x\lt a$, noté $x\to a^-$) ou à droite ($x\to a^+$) quand le comportement diffère de part et d'autre de $a$.

À retenir — asymptote verticale

Si $\lim\limits_{x\to a}f(x)=\pm\infty$ (même seulement à gauche ou à droite), la droite d'équation $\boldsymbol{x=a}$ est asymptote verticale à $\mathcal C_f$.

Ici $\lim\limits_{x\to a^-}f(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to a^+}f(x)=+\infty$.

Exemple

$g(x)=\dfrac{x+1}{x-2}$ sur $\mathbb{R}\setminus\{2\}$. Quand $x\to2$ : le numérateur tend vers $3\gt 0$ et le dénominateur vers $0$.
• si $x\lt 2$, $x-2\lt 0$ : le dénominateur tend vers $0^-$, donc $\lim\limits_{x\to2^-}g(x)=-\infty$ ;
• si $x\gt 2$, $x-2\gt 0$ : le dénominateur tend vers $0^+$, donc $\lim\limits_{x\to2^+}g(x)=+\infty$.
La droite $x=2$ est asymptote verticale à $\mathcal C_g$.

Conçu et validé par Laurent Jacquet, professeur de mathématiques. Qui conçoit les cours ?