Croissances comparées~1 min
$$\lim_{x\to+\infty}\frac{\mathrm{e}^x}{x}=+\infty \qquad \lim_{x\to+\infty}\frac{\mathrm{e}^x}{x^n}=+\infty \qquad \lim_{x\to+\infty}x^n\mathrm{e}^{-x}=0 \qquad \lim_{x\to-\infty}x^n\mathrm{e}^{x}=0$$
Étape 1. Soit $h(x)=\mathrm{e}^x-x$ sur $[0\,;+\infty[$. $h'(x)=\mathrm{e}^x-1\geq0$ car $x\geq0$ : $h$ est croissante, et $h(0)=1$. Donc $h(x)\geq1\gt 0$, c.-à-d. $\mathrm{e}^x\gt x$.
Étape 2. Soit $g(x)=\mathrm{e}^x-\dfrac{x^2}{2}$ sur $[0\,;+\infty[$. $g'(x)=\mathrm{e}^x-x\gt 0$ (étape 1) : $g$ est croissante, et $g(0)=1$. Donc $g(x)\gt 0$, c.-à-d. $\mathrm{e}^x\gt \dfrac{x^2}{2}$.
Étape 3. Pour $x\gt 0$, on divise par $x\gt 0$ : $\dfrac{\mathrm{e}^x}{x}\gt \dfrac{x}{2}$. Or $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac x2=+\infty$ : d'après le théorème de comparaison, $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\mathrm{e}^x}{x}=+\infty$. $\blacksquare$
$\lim\limits_{x\to+\infty}(x^2-\mathrm{e}^x)$ (FI « $\infty-\infty$ »). On factorise par le terme dominant $\mathrm{e}^x$ : $x^2-\mathrm{e}^x=\mathrm{e}^x\Bigl(\dfrac{x^2}{\mathrm{e}^x}-1\Bigr)=\mathrm{e}^x\bigl(x^2\mathrm{e}^{-x}-1\bigr)$.
Par croissances comparées $x^2\mathrm{e}^{-x}\to0$, la parenthèse tend vers $-1$ : par produit, la limite est $-\infty$.
$\lim\limits_{x\to-\infty}(x+2)\mathrm{e}^x=\lim\limits_{x\to-\infty}\bigl(x\mathrm{e}^x+2\mathrm{e}^x\bigr)=0+0=0$ (croissances comparées et $\lim\limits_{x\to-\infty}\mathrm{e}^x=0$).